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你觉得好听的流行歌曲,它们是怎么来的呢?

红木君2018-10-16 12:42:20


我们经常用“好听”、“旋律很优美”去形容一些流行音乐。但这些“好听”的流行歌曲内部蕴含的乐理原理是什么,从数学上讲,这些歌曲不同音的频率又有什么特点呢?

注:本文中提到的“频率”均指基础音,不考虑该音的范音列。


音律

声音不是人类创造的,但人们把美妙的声音(音符)组合在一起就形成了乐曲。我们知道,一首歌曲是由很多音符组成的,而音律,简单地说,就是人们确定音符的规则。由于振动产生声音,而音高是由震动的频率所决定的。之所以说音乐不是人类创造的,是因为当给定某些频率的组合后,就会产生音乐。而哪些频率得到哪些音,这些音的音名是什么就是人类创造出来的了。而按什么标准将频率分类等,就是音律告诉我们的。

一些基础的乐理知识

众所周知,现在最主流的音律:十二平均律,将音符分成了DoReMiFaSoLaSi,以及对应的升/降半音。而如果我问你这些音符的划分依据的话,你一定会觉得这个问题很奇怪,因为这些是从小音乐老师就教给我们的,应该是天经地义的。其实,人们对十二平均律的探索是经历了一个漫长的过程的。

首先我们知道,人耳能听到的声波频率范围是20HZ到20000HZ之间,并且人耳对于声波的频率是指数敏感的。也就是说100HZ、200HZ、400HZ、800HZ等等这些声音对于人耳来说是“等距离”的。另外,人们发现我们平时说的高音Do/Re/Mi…和低音Do/Re/Mi…这两个音听起来是最和谐的,而且它们之间的频率相差二倍。我们称相邻的高音Do和低音Do之间相差纯八度。



有了上述乐理知识基础以后,我们可以进行如下的建模了:

用数学符号表示出来,所有不同音律的不同音的频率都可以表示为:

F(n1,n2,…)=g(n1,n2,…)F0, 其中ni是整数(i=1,2,…)

其中,不同的映射函数g(ni)对应不同的律制,由n1,n2,…等来参数化。如上所述,只需要确定一个纯八度,即满足1≤g(n1,n2,…)≤2内的参数取值即可。


于是我们就可以采用不同的参数来表示不同音律了:

十二平均律的音符频率是单参数的,表达式如下:

我们很容易看出,由于只有一个单参数n,n取遍所有整数就给出了十二平均律中的所有音高。比如,n从1取到12就给出一个纯八度中的十二个音高。由于前文说到,人耳对于声波的频率是指数敏感的,而我们发现,在十二平均律中,相邻的两个音的商是一个定值2^(1/12),因此人耳会认为十二平均律中的相邻两个半音之间是“等距”的。这也就为这种音律带来了一个极大的优势:我们可以随意升降调,而几乎听不出来原来的歌曲和升降调以后的歌曲的区别。


以下是另外两种比较常用的音律的表达式:

五度相生律(双参数),

纯律(三参数)

这里,我们只研究现在用途最广泛的十二平均律。

接下来我们来确定在十二平均律下,各音符的频率是多少。

前面说到,纯八度相邻两音之间频率有二倍的关系,另外,由于十二平均律各音符频率指数增长的特性,我们可以得到以下方程组:

其中f2表示比f1高八度的对应音符的频率,

根据标准音定义为a1=440Hz(第一国际高度),计算c1(中央C)的频率:


代入方程组,我们就得到了十二平均律对应的音符的频率:

由此我们可以引出乐理中一个非常重要的定理,两个音的最简频率比数值越小,这两个音听起来越和谐:

打个比方:我们知道一组C大调中重要的和谐音Do-So(专业名称叫纯五度或完全五度),用频率计算公式计算得到比例为2^(7/12)=1.498≈3/2,我们得到了一个很简单的频率比。再比如,小调中常用的和谐音Mi-La,计算出频率比为2^(5/12)=1.335≈4/3,这也是一个比较简单的频率比。

(由于十二平均律表达式的限制,这种比例都是近似出来的。其它音律比如五度相生律下,这个比例就是完美的3/2等。不过,虽然存在误差,但这种微小的误差人耳是无法分辨出来的。)


现在你应该知道好听的流行歌曲是怎么诞生的了。简单来说满足三点即可:

  1. 采用十二平均律创作

  2. 主旋律与伴奏之间多为和谐音

  3. 大多数伴奏和弦落在和谐音上


当然,满足以上三点是远远不够的(这三点也不是必要条件),要创作出好听的音乐还需要很多乐理上的技巧(比如加某个音五度音的属七和弦等等),以上所述仅仅是创作好听的歌曲很小部分但是很关键的一些条件。另外,在爵士、蓝调等音乐中可能会采用较多的不和谐音,但也能产生“好听”的音乐效果。但这些超出了我们的讨论范围,这里我们只讨论流行音乐。


小编第一次尝试将音乐与数学联系起来进行浅显的建模。因自身音乐水平有限,如有纰漏以及不当之处还请各位不吝赐教!

 

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